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Inventar o descubrir

Muchos matemáticos opinan que las matemáticas se descubren y no se inventan. Una razón poderosa para sostener esto es que los teoremas matemáticos, efectivamente, se descubren. Nadie puede inventar un teorema. Se puede inventar una definición o una operación, pero, una vez hecho esto, los resultados que se siguen no son objeto de invención. La cuestión, por tanto, es si los axiomas de las matemáticas (los que definen los números o los conjuntos, por ejemplo), y las operaciones que definimos (la suma de dos números, la intersección de dos conjuntos) son inventadas o descubiertas.

No sé muy bien qué decir sobre esta cuestión que sea consistente con las definiciones de ambos términos. Creo que no son demasiado relevantes para la cuestión que creo interesa, a saber, si las matemáticas que construimos con ellas son las que crearía cualquier civilización inteligente. Si la respuesta es positiva querría decir que estamos haciendo las matemáticas “naturales”, por así decirlo. Si es negativa, en cambio, estaríamos, por una parte, tal vez perdiendo el tiempo en ejercicios intrascendentes y, por otra, tal vez “descubriendo” cosas únicas e interesantes que intercambiar con otras civilizaciones.

Las matemáticas son un sistema formal. El ajedrez, también. Cabe poca duda en pensar que otras civilizaciones habrán inventado otros juegos, pero no el ajedrez. Poca duda también en decir que, dados los axiomas y las reglas del ajedrez (descripción de la posición inicial de las piezas y de cómo pueden mover), también los extraterrestres inteligentes podrán saber si Rey y Torre pueden dar mate a un Rey solo.

En matemáticas tenemos confianza en que otras matemáticas hayan definido los números y las operaciones básicas, menos en que hayan definido conjuntos y funciones como nosotros, aunque mucha, otra vez, de que hablen de las relaciones trigonométricas y exponenciales, por ejemplo. El interés que puedan tener sobre la hipótesis de Riemann es un misterio.

Como hay quienes opinan que muchos de los conceptos matemáticos se descubren en el sentido de decir que son definiciones “naturales”, hay quien dice que los matemáticos, o muchos de ellos, son platónicos (con algún neo por delante, para más modernidad).

Decir que si podemos inventar el ajedrez es porque ya había antes una idea de “ajedrez” es algo que podemos hacer, pero no sé de qué sirve decir eso. No, desde luego para mostrar la existencia de algo trascendente a la naturaleza. Lo único que dice es que antes de pensar nada sobre el Universo hace falta un Universo sobre el que pensar.

No veo que la situación con las ideas que nos son más intuitivas y naturales sea muy distinta. Tenemos una idea bastante precisa sobre algunas cosas cercanas. Reconocemos los caballos y eso nos hace pensar en una idea de caballo que nuestra mente descubre. Pero no somos tan precisos como parece. Fácilmente uno se confunde y engloba a los mulos o a las cebras con los caballos, o deja de lado a los ponies. Cuando hablamos de cosas menos familiares (no veo que nuestra mente tenga una idea clara de lo que es material, espacio o tiempo, a pesar de que así nos lo parezca) es difícil pensar en ideas que descubrimos y es más fácil hablar de definiciones que nos van siendo útiles a medida que seguimos avanzando en la aventura del saber.

Lo mismo nos pasa con esa ciencia tan apriorística como es las matemáticas. Si la inventamos o la descubrimos es una cuestión de interés, pero en su nivel, en el de la naturalidad de sus definiciones, no en el de mostrar esencias o trascendencias en el Universo, cosas que no se sabe muy bien lo que son (por decirlo suave), que nadie ha encontrado y cuya aceptación, por otra parte, ningún conocimiento aportan.

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