3 de mayo de 2015

Es muy difícil ser riguroso sin matemáticas


José Luis Ferreira

Esta es la paradoja de La lámpara de Thompson. Tenemos una lámpara encendida. Al cabo de una hora la apagamos, media hora después la encendemos, un cuarto de hora más tarde la apagamos de nuevo, un octavo de hora después la encendemos otra vez, y así sucesivamente. Alternamos la lámpara encendida y apagada en intervalos cada uno la mitad de largo que el anterior. Todo el proceso acabará en dos horas:

1+1/2+1/4+1/8+1/16+… = 2.

La pregunta inquietante viene ahora. Al cabo de esas dos horas, ¿la lámpara estará encendida o apagada?

Ninguna de las dos respuestas parece adecuada ni preferible a la otra. ¿Qué hacemos entonces?

Ocurre simplemente, que el problema no está bien definido. Parece bien definido porque parece que hemos sido capaces de enunciarlo claramente, pero es solo apariencia. El problema está perfectamente definido para cualquier instante anterior a las dos horas, pero no para ese momento.

Hay quien dice que la indefinición de la paradoja se debe a que esa situación es físicamente imposible. No hay manera de encender y apagar tan rápidamente una lámpara. Además, según la mecánica cuántica, hay un intervalo de tiempo (el tiempo de Planck) que es indivisible. No es que no podamos o sepamos dividirlo, sino que en la mecánica cuántica no existe posibilidad de algo más pequeño (en otras palabras, el tiempo es discreto, va a saltitos).

Pero la paradoja no está planteada en ningún mundo físico que llega a momentos indivisibles, sino en una construcción nuestra, donde es posible dividir siempre un poco más cualquier intervalo de tiempo (en otras palabras, el tiempo es continuo). La indefinición está en que es imposible formular un modelo lógico-formal en el que la pregunta tenga sentido. De hecho, la paradoja es lógicamente equivalente a resolver la siguiente suma:

1-1+1-1+1-1+1-1+….

En esa suma, el 1 corresponde a la vela encendida y el -1 a su apagado. Esa suma no está definida. No existe ni como planteamiento. Recordemos que la suma se define entre dos números, y que gracias a las propiedades conmutativa y asociativa podemos dar sentido a escribir sumas finitas, pero no a sumas infinitas.

El problema es similar a la siguiente paradoja:

¿Qué ocurre si el rayo rompelotodo cae sobre la torre indestructible?

Volvemos a tener otro problema mal definido, a pesar de que fácilmente hayamos podido expresar esa pregunta en un lenguaje natural. El problema no es que físicamente sea imposible tener un rayo rompelotodo o una torre indestructible. El problema es que en un lenguaje formal la paradoja no se puede plantear. Para ello haría falta definir qué significa un rayo rompelotodo, y para eso tendríamos que enumerar el conjunto de elementos que hay en el todo y que son rompibles por el rayo. Entre esos elementos no puede estar la torre indestructible. La misma indefinición encontraríamos si comenzamos por definir la torre indestructible. De la misma manera, en las matemáticas no puede existir la suma anterior, ni en ningún modelo formal puede existir la lámpara de Thompson.

(En realidad sí se podría definir la suma, pero no como resultado de la operación suma de toda la vida, sino definiendo arbitrariamente un valor, y lo mismo se podría hacer con un modelo formal para la lámpara de Thompson, pero definir arbitrariamente un valor se parece mucho a obviar el problema.)

De esta paradoja toca aprender el cuidado que hay que tener con lo que formulamos, ya que enunciados aparentemente sensatos son, en rigor, imposibles de enunciar.

En la realidad no se da la paradoja porque el tiempo real no es continuo. Este pensamiento es poco evocador. Prefiero el que me llega en momentos de duermevela, según el cuál el secreto de por qué el mundo es cuántico se debe a que una realidad continua no es lógicamente posible.

3 comentarios:

  1. Un matiz sobre " Recordemos que la suma se define entre dos números, y que gracias a las propiedades conmutativa y asociativa podemos dar sentido a escribir sumas finitas, pero no a sumas infinitas."

    Si bien este es el caso para la suma propuesta, a la que ciertamente se le aplican procedimientos esotéricos para sumarla (Se le puede aplicar la suma de Cesàro, por ejemplo), no es el caso en general para toda suma infinita. El problema aparece cuando la suma es divergente.

    Si es convergente, como SUM (1/n^2) entre 1 e infinito, sí tienen suma definida de la forma usual. Y entre las divergentes, podríamos aceptar también algunas, como SUM( n), que dará infinito.

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  2. El resultado de una suma infinita convergente es el límite de la sucesión de sumas parciales, por lo que aplica perfectamente lo que comenta este artículo sobre la imposibilidad de aplicar los criterios formales de suma, definidos para sumas finitas, a las sumas infinitas.

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  3. Efectivamente. La suma infinita haya que definirla aparte. La manera de poderlo hacer para que mantenga las propiedades de la suma finita y para que sea congruente con esta requiere que la serie sea convergente y necesita también la definición previa de "límite". Para las series no convergentes no es posible una definición que mantenga todas las propiedades de la suma finita y que sea congruente con ella (es decir, que cuando se aplique a una serie finita esa definición dé el mismo resultado que la suma de toda la vida).

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